Question

設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），離心率e=

2

，右焦點F（c，0）．方程ax²-bx-c=0的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂，則點P（x₁，x₂）與圓x²+y²=8的位置關(guān)系（　�。�

• A、在圓外
• B、在圓上
• C、在圓內(nèi)
• D、不確定

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知圓的方程找出圓心坐標(biāo)與圓的半徑r，然后根據(jù)雙曲線的離心率公式找出c與a的關(guān)系，根據(jù)雙曲線的平方關(guān)系，把c與a的關(guān)系代入即可得到a等于b，然后根據(jù)韋達(dá)定理表示出兩根之和和兩根之積，利用兩點間的距離公式表示出點P與圓心的距離，把a(bǔ)，b及c的關(guān)系代入即可求出值，與圓的半徑比較大小即可判斷出點與圓的位置關(guān)系．

解答： 解：由圓的方程x²+y²=8得到圓心O坐標(biāo)為（0，0），圓的半徑r=2

2

，
又雙曲線的離心率為e=

c

a

=

2

，即c=

2

a，
則c²=2a²=a²+b²，即a²=b²，又a＞0，b＞0，得到a=b，
因為方程ax²-bx-c=0的兩個實根分別為x₁和x₂，所以x₁+x₂=

b

a

，x₁x₂=-

c

a

，
則|OP|=

x12+x22

=

(x1+x2)2-2x1x2

=

1+ 2

＜r=2

2

，
所以點P在圓x²+y²=8內(nèi)．
故選：C．

點評：此題考查學(xué)生掌握點與圓的位置關(guān)系的判別方法，靈活運用韋達(dá)定理及兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．