Question

【題目】設為正整數(shù)，若兩個項數(shù)都不小于的數(shù)列，滿足：存在正數(shù)，當且時，都有，則稱數(shù)列，是“接近的”.已知無窮等比數(shù)列滿足，無窮數(shù)列的前項和為，，且，.

（1）求數(shù)列通項公式；

（2）求證：對任意正整數(shù)，數(shù)列，是“接近的”；

（3）給定正整數(shù)，數(shù)列，（其中）是“接近的”，求的最小值，并求出此時的（均用表示）.（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）的最小值，此時

【解析】

（1）設等比數(shù)列公比為，由，可求得首項和公比，進而求得通項；
（2）只需證明成立，即可得證；
（3）由題設可求得，根據(jù)定義進而得到對都成立，再構(gòu)造函數(shù)求解即可．

（1）設等比數(shù)列公比為，由得，解得，故.

（2）.

對任意正整數(shù)，當，且時，有，

則，即成立，

故對任意正整數(shù)，數(shù)列，是“接近的”.

（3）由，得到，且，

從而，于是.

當時，，，解得，

當時，，又，

整理得，所以，因此數(shù)列為等差數(shù)列.

又因為，，則數(shù)列的公差為1，故.

根據(jù)條件，對于給定正整數(shù)，當且時，都有

成立，

即①對都成立.

考察函數(shù)，，令，

則，當時，，所以在上是增函數(shù).

又因為，所以當時，，即，

所以在上是增函數(shù).

注意到，，，，

故當時，的最大值為，

的最小值為.

欲使?jié)M足①的實數(shù)存在，必有，即，

因此的最小值，此時.