Question

11．已知△ABC中，AB=4，且滿足BC=$\sqrt{3}$CA，則△ABC的面積的最大值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 3
• C． 2
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)CA=b，則BC=$\sqrt{3}$b，利用余弦定理可求得cos²A=$\frac{4}{^{2}}$+$\frac{^{2}}{16}$-1，再利用三角形的面積公式可求得S_△ABC=2bsinA，繼而可求S_△ABC²=48-$\frac{1}{4}$（b²-16）²，從而可得△ABC面積的最大值．

解答 解：依題意，設(shè)CA=b，則BC=$\sqrt{3}$b，又AB=4，
由余弦定理得：cosA=$\frac{{4}^{2}+^{2}-（\sqrt{3}b）^{2}}{2×4×b}$=$\frac{8-^{2}}{4b}$=$\frac{2}$-$\frac{4}$，
∴cos²A=（$\frac{2}$-$\frac{4}$） ²=$\frac{4}{^{2}}$+$\frac{^{2}}{16}$-1，
∴sin²A=1-cos²A=2-$\frac{4}{^{2}}$-$\frac{^{2}}{16}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•ACsinA=$\frac{1}{2}$×4bsinA=2bsinA，
∴S²_△ABC=4b²sin²A=4b²（2-$\frac{4}{^{2}}$-$\frac{^{2}}{16}$）=48-$\frac{1}{4}$（b²-16）²，
當b²=16，即b=4時，4、4、4$\sqrt{3}$能組成三角形，
∴S²_max=48，
∴S_max=4$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題考查余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，著重考查轉(zhuǎn)化思想與二次函數(shù)的配方法，求得S²_△ABC=48-$\frac{1}{4}$（b²-16）²是關(guān)鍵，也是難點，屬于難題．