Question

在平面直角坐標系xoy中，過定點C（p，0）作直線m與拋物線y²=2px（p＞0）相交于A、B兩點．
（I）設N（-p，0），求

NA

•

NB

的最小值；
（II）是否存在垂直于x軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據拋物線的方程得到焦點的坐標，設出直線與拋物線的兩個交點和直線方程，是直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得到關于y的一元二次方程，根據根與系數的關系，表達出兩個向量的數量積．
（Ⅱ）對于存在性問題，可先假設存在，即假設滿足條件的直線l存在，其方程為x=a，再利用弦長公式，求出a，p的關系式，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（I）依題意，可設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為：x=my+p
由

x=my+p y2=2px

?y²-2pmy-2p²=0（2分）∴

y1+y2=2pm y1•y2=-2p2

∴ NA • NB =(x1+p，y1)•(x2+p，y2)=(x1+p)(x2+p)+y1y2  =(my1+2p)(my2+2p)+y1y2=(m2+1)y1y2+2pm(y1+y2)+4p2 =2p2m2+2p2

當m=0時

NA

•

NB

的最小值為2p²．（7分）
（II）假設滿足條件的直線l存在，其方程為x=a，AC的中點為o′，l與以AC為直徑的圓
相交于P，Q，PQ中點為H，則o′H⊥PQ，o′的坐標為(

x1+p

2

，

y1

2

)．∵|o′P|=

1

2

|AC|=

1

2

(x1-p)2+y12

=

1

2

x12+p2

（9分）

∴|PH|2=|o′P|2-|o′H|2= 1 4 (x12+p2)- 1 4 (2a-x1-p)2 =(a- 1 2 p)x1+a(p-a)

∴|PQ|2=(2|PH|)2=4[(a-

1

2

p)x1+a(p-a)]（13分）
令a-

1

2

p=0得a=

1

2

p．此時|PQ|=p為定值．故滿足條件的直線l存在，
其方程為x=

1

2

p（15分）

點評：本題考查弦長的計算和直線與拋物線位置關系的綜合運用，解題時要注意方程思想和弦長公式的合理運用，注意合理地進行等價轉化．