Question

某中學(xué)經(jīng)市人民政府批準(zhǔn)建分校，工程從2010年底開工到2013年底完工，工程分三期完成．經(jīng)過初步招投標(biāo)淘汰后，確定只由甲、乙兩家建筑公司承建，且每期工程由兩公司之一獨(dú)立承建，必須在建完前一期工程后再建后一期工程．已知甲公司獲得第一期、第二期、第三期工程承包權(quán)的概率分別為

3

4

、  

1

2

、  

1

4

．
（1）求甲、乙兩公司各至少獲得一期工程的概率；
（2）求甲公司獲得工程期數(shù)比乙公司獲得工程期數(shù)多的概率．

Answer 1

分析：（1）記事件：“甲乙兩工程公司各至少獲得一期工程”為事件A，此事件較為復(fù)雜，故可以轉(zhuǎn)化求其對(duì)立事件的概率來求，由于各期工程承包之間沒有影響，故需要用概率的乘法公式來求解：
（2）記事件：“甲獲得工程事件為A_i（i=1，2，3）”記事件：“乙獲得工程事件為B_i（i=1，2，3）”，甲公司獲得工程期數(shù)比乙公司獲得工程期數(shù)多意味著甲公司獲得兩期工程，或者獲得了三期工程，這些事件之間是互斥的關(guān)系，故要采用概率的加法公式來求解．

解答：解：（1）記事件：“甲乙兩工程公司各至少獲得一期工程”為事件A，記事件：“甲乙兩工程公司各至少獲得一期工程的對(duì)立事件”為

.

A

．則P(A)=1-P(

.

A

)=1-(

3

4

×

1

2

×

1

4

+

3

4

×

1

2

×

1

4

)=

13

16

（5分）
（2）記事件：“甲獲得工程事件為A_i（i=1，2，3）”
記事件：“乙獲得工程事件為B_i（i=1，2，3）”
記事件：“甲獲得工程期數(shù)比乙獲工程期數(shù)多的事件為D”，則D=A₁•A₂•B₃+A₁•A₃•B₂+A₂•A₃•B₁+A₁•A₂•A₃，故甲獲得工程期數(shù)比乙獲得工程期數(shù)多的概率為

P(D)=P(A1A2B3+A1A3B2+A2A3B1+A1A2A3)         =P(A1A2B3)+P(A1A3B2)+P(A2A3B1)+P(A1A2A3)         = 3 4 × 1 2 × 3 4 + 3 4 × 1 4 × 1 2 + 1 2 × 1 4 × 3 4 + 3 4 × 1 2 × 1 4         = 9 16

（10分）
答（1）甲乙兩工程公司各至少獲得一期工程的概率為

13

16

；
（2）甲獲得工程期數(shù)比乙獲得工程期數(shù)多的概率為

9

16

；（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件的概率公式的使用，解答此類題關(guān)鍵是正確判斷出事件的性質(zhì)，確定是分類還是分步，且注意公式的靈活運(yùn)用，由第一小題轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件求解，第二小題轉(zhuǎn)化化四個(gè)事件的和，這些都是概率中常用的鑰匙技巧．