Question

已知探照燈的軸截面是拋物線x＝y(tǒng)²，如圖所示，表示平行于對稱軸y＝0(即x軸)的光線于拋物線上的點P、Q的反射情況．設(shè)點P的縱坐標為a(a＞0)，則a取何值時，從入射點P到反射點Q的光線的路程PQ最短？

Answer 1

答案：
解析：

　　解：由題設(shè)知P點的坐標為(a²，a)，故直線PQ的方程為y＝(x－)，即4ax－(4a²－1)y－a＝0．

　　解方程組得y＝或y＝a．

　　由此可知，Q點的坐標是(，－)．

∴｜PQ｜＝｜PF｜＋｜FQ｜＝a²＋＋(a＞0)．

　　利用均值不等式．有｜PQ｜＝(a²＋)＋≥2＝1．當且僅當a²＝，即a＝時，上式等號成立．

　　∴入射點為(，)，反射點為(，－)時．路程PQ最短，這時P、Q恰好關(guān)于x軸對稱，PQ為拋物線的通徑．

　　分析：光源置于拋物鏡面的焦點處，光線經(jīng)拋物鏡面反射成一束平行光線射出，這是拋物線的光學(xué)性質(zhì)，因此入射光線與反射光線成平行狀態(tài)，那么光線PQ必過拋物線y²＝x的焦點F(，0)，于是可解．

　　點評：本題利用拋物線的幾何性質(zhì)將買際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后又進一步運用拋物線的幾何性質(zhì)及不等式的性質(zhì)求解．