Question

(本題滿分15分)

已知函數(shù)，（），函數(shù)[來源:學(xué).科.網(wǎng)]

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大、最小值；

（Ⅱ）求證：對于任意的，總存在，使得是關(guān)于的方程的解；并就的取值情況討論這樣的的個數(shù)。

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052305461154685432/SYS201205230548060000673317_DA.files/image001.png">                ……1分

由；由，[來源:學(xué)_科_網(wǎng)]

所以當(dāng)時，在上遞增，在上遞減  ……3分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052305461154685432/SYS201205230548060000673317_DA.files/image008.png">，，，

而，                      ………………4分

所以當(dāng)時，函數(shù)取最小值，………………5分

當(dāng)時，函數(shù)取最大值，………………6分

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052305461154685432/SYS201205230548060000673317_DA.files/image014.png">，所以，

   令，

從而把問題轉(zhuǎn)化為證明方程在上有解，

并討論解的個數(shù)        ………………7分

   因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052305461154685432/SYS201205230548060000673317_DA.files/image019.png">,

,………………8分

所以

   ①當(dāng)時,，所以在上有解，且只有一解……10分

②當(dāng)時,，但由于，

所以在上有解，且有兩解       ……12分

③當(dāng)時,,所以在上有且只有一解；

當(dāng)時,,

所以在上也有且只有一解          ……14分

綜上所述, 對于任意的，總存在，滿足，

且當(dāng)時，有唯一的適合題意；當(dāng)時，有兩個適合題意。

………………15分

 

【解析】略