Question

已知

a

=（1，0），

b

=（1，1），根據條件，分別求實數λ的值．
（Ⅰ）（

a

+λ

b

）⊥

a

；
（Ⅱ）（

a

+λ

b

）∥（λ

a

+

b

）；
（Ⅲ）（

a

+λ

b

）與λ

a

的夾角是60°．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）由條件利用兩個向量垂直的性質，兩個向量坐標形式的運算法則求得λ的值．
（Ⅱ）由條件利用兩個向量共線的性質，兩個向量坐標形式的運算法則求得λ的值．
（Ⅲ）由條件利用兩個向量坐標形式的運算法則、兩個向量的夾角公式，求得λ的值．

解答： 解：∵已知

a

=（1，0），

b

=（1，1），
（Ⅰ）由 （

a

+λ

b

）⊥

a

，可得（

a

+λ

b

）•

a

=

a

2+λ•

a

•

b

=1+λ=0，∴λ=-1．
（Ⅱ）由（

a

+λ

b

）∥（λ

a

+

b

），（

a

+λ

b

）=（1+λ，λ），（λ

a

+

b

）=（λ+1，1），
可得 （1+λ）×1-（λ+1）λ=0，求得λ=±1．
（Ⅲ）由（

a

+λ

b

）與λ

a

的夾角是60°可得cos60°=

1

2

=

( a +λ b )•λ a

| a +λ b |•λ| a |

=

λ(1+λ)

(1+λ)2+λ2 •λ×1

=

1+λ

2λ2+2λ+1

，
求得λ=-

1

2

．

點評：本題主要考查兩個向量共線、垂直的性質，兩個向量坐標形式的運算，兩個向量的夾角公式的應用，屬于基礎題．