Question

12．已知函數(shù)y=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 通過函數(shù)定義域為R，討論二次項系數(shù)為0時，不成立，系數(shù)不為0時，讓系數(shù)大于0且根的判別式大于等于0求出a的范圍即可．

解答 解：∵f（x）=lg[（a²-1）x²+（a-1）x+1]的定義域為R，
∴（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0恒成立．
當a²-1=0時，得a=-1，a=1不成立．
當a²-1≠0時，$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}-1＞0\\△=（a-1）^{2}-4（{a}^{2}-1）＜0\end{array}\right.$，
解得a＞$\frac{5}{3}$或a＜-1．
當a=-1時，函數(shù)y=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]的定義域為R，滿足題意．
實數(shù)a的取值范圍是a＞$\frac{5}{3}$或a≤-1．

點評 考查學(xué)生理解對數(shù)函數(shù)定義域和值域的能力，以及理解函數(shù)恒成立條件的能力，屬于中檔題．