Question

定義：若數(shù)列對任意，滿足（為常數(shù)），稱數(shù)列為等差比數(shù)列.

(1)若數(shù)列前項和滿足，求的通項公式，并判斷該數(shù)列是否為等差比數(shù)列；

(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，試判斷是否一定為等差比數(shù)列，并說明理由；

(3)若數(shù)列為等差比數(shù)列，定義中常數(shù)，數(shù)列的前項和為， 求證：.

 

Answer 1

【答案】

（1）數(shù)列是首項為3，公比為的等比數(shù)列

（2）當時，數(shù)列是等差比數(shù)列；  

當時，數(shù)列是常數(shù)列，數(shù)列不是等差比數(shù)列..

（3）

【解析】

試題分析：解：（1）當時，，則

當時，，則

數(shù)列是首項為3，公比為的等比數(shù)列，

數(shù)列是等差比數(shù)列。

設(shè)等差數(shù)列的公差為，則,

當時，數(shù)列是等差比數(shù)列；  

當時，數(shù)列是常數(shù)列，數(shù)列不是等差比數(shù)列.

由 

知數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

 ,

 ,   

   ①

①得      ②

①②得

 

考點：新定義以及數(shù)列求和

點評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系來得到通項公式以及錯位相減法求和，屬于基礎(chǔ)題。