Question

如圖，底面邊長為a，高為h的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，其中D是AB的中點(diǎn)，E是BC的三等分點(diǎn)．求幾何體BDEA₁B₁C₁的體積．

Answer 1

a²h.

學(xué)生錯解：解∵BD＝，BE＝，∠DBE＝60°，
∴S_△DBE＝BD·BEsin∠DBE＝a²，S△A₁B₁C₁＝·A₁B₁·B₁C₁sin60°＝a².
由棱臺體積公式得
VBDEA₁B₁C₁＝h(S_△BDE＋S△A₁B₁C₁＋)
＝h＝a²h.
審題引導(dǎo)：(1)弄清組合體的結(jié)構(gòu)，這里幾何體DBEA₁B₁C₁不是棱臺，也可補(bǔ)上一個三棱錐使之成為一個三棱臺；(2)運(yùn)用體積公式進(jìn)行計(jì)算．
規(guī)范解答：

解：如圖，取BC中點(diǎn)F，連結(jié)DF、C₁D、C₁E、C₁F，得正三棱臺DBFA₁B₁C₁及三棱錐C₁DEF.
∵S△A₁B₁C₁＝a²，S_△DBF＝S_△ABC＝a²，(4分)
∴VDBFA₁B₁C₁＝h(S_△DBF＋S△A₁B₁C₁＋)
＝h(a²＋a²＋)＝a²h.(8分)
∴VC₁DEF＝a²＝a²h，(10分)
∴VBDEA₁B₁C₁＝VDBFA₁B₁C₁VC₁DEF＝a²h－a²h＝a²h.(14分)
錯因分析：沒有弄清所給幾何體的結(jié)構(gòu)，幾何體DBEA₁B₁C₁不是棱臺．