Question

已知m是非零實(shí)數(shù)，拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F在直線l：x-my-

m2

2

=0上．
（I）若m=2，求拋物線C的方程
（II）設(shè)直線l與拋物線C交于A、B，△AA₂F，△BB₁F的重心分別為G，H，求證：對(duì)任意非零實(shí)數(shù)m，拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的焦點(diǎn)在以線段GH為直徑的圓外．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)F（

P

2

，0）在直線l上，將F代入可得到ρ=m²，再由m=2可確定p的值，進(jìn)而得到答案．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），然后聯(lián)立

x=my+ m2 2 y2=2m2x

消去x表示出兩根之和、兩根之積，然后設(shè)M₁，M₂分別為線段AA₁，BB₁的中點(diǎn)，根據(jù)重心的定義可得到關(guān)系2

M1C

=

GF

，2

M2H

=

HF

，進(jìn)而得到G（

x1

3

，

2y1

3

），H（

x2

3

，

2y2

3

），和GH的中點(diǎn)坐標(biāo)M(

m4

3

+

m2

6

，

2m2

3

)，再由R2=

1

4

|GH|2可得到關(guān)于m的關(guān)系式，然后表示出|MN|整理即可得證．

解答：解：（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)F（

P

2

，0）在直線l上，
得p=m²
又m=2，故p=4
所以拋物線C的方程為y²=8x
（2）證明設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x=my+ m2 2 y2=2m2x

消去x得
y²-2m³y-m⁴=0，
由于m≠0，故△=4m⁶+4m⁴＞0，
且有y₁+y₂=2m³，y₁y₂=-m⁴，
設(shè)M₁，M₂分別為線段AA₁，BB₁的中點(diǎn)，
由于2

M1C

=

GF

，2

M2H

=

HF

，
可知G（

x1

3

，

2y1

3

），H（

x2

3

，

2y2

3

），
所以

x1+x2

6

=

m(y1+y2)+m2

6

=

m4

3

+

m2

6

，

2y1+2y2

6

=

2m3

3

，
所以GH的中點(diǎn)M(

m4

3

+

m2

6

，

2m2

3

)．
設(shè)R是以線段GH為直徑的圓的半徑，
則R2=

1

4

|GH|2=

1

4

[(

x1

3

-

x2

3

)2+(

2y1

3

-

2y2

3

)2]=

1

9

(m2+4)(m2+1)m2，
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)N(-

m2

2

，0)，
則|MN|2=(

m2

2

+

m4

3

+

m2

6

)2+(

2m3

3

)2
=

1

9

m⁴（m⁴+8m²+4）
=

1

9

m⁴[（m²+1）（m²+4）+3m²]
＞

1

9

m²（m²+1）（m²+4）=R²．
故N在以線段GH為直徑的圓外．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力．