Question

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線(xiàn)相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)，，是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，證明直線(xiàn)與軸相交于定點(diǎn)；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由題意知，
所以．
即．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823203225307652.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，．
故橢圓的方程為．               …4分
（Ⅱ）由題意知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為．
由 得．      ①        …6分
設(shè)點(diǎn)，，則．
直線(xiàn)的方程為．
令，得．
將，代入，
整理，得．                            ②
由①得 ，代入②
整理，得．
所以直線(xiàn)與軸相交于定點(diǎn)．        …10分
（Ⅲ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，且
，在橢圓上．
由 得．  
易知．
所以，， ．
則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823203226961482.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
所以．
當(dāng)過(guò)點(diǎn)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，其方程為．
解得：，．
此時(shí)．
所以的取值范圍是

略