Question

已知數列a_n是等比數列，b_n是等差數列，且b₁=0，數列c_n滿足c_n=a_n+b_n，其前四項依次為1，a，2a，2，求數列c_n的前n項和S_n．

Answer 1

分析：利用C₁=a₁+b₁=1求出a₁，設出公差及公比，據{c_n}的前四項列出方程求出公差、公比；當一個數列是一個等比數列及等差數列的和或差構成時，求其和時用分組法．

解答：解：①由c_n=a_n+b_n知c₁=a₁+b₁而c₁=1，b₁=0∴a₁=1
設a_n的公比為q，b_n的公差為d
則a_n=a₁q^n-1=q^n-1b_n=b₁+（n-1）d=（n-1）d
∴c_n=q^n-1+（n-1）d
令

n=2，c2=q+d=a n=3，c3=q2+2d=2a n=4，c4=q3+3d=2

解得q=2，d=-2∴a_n=2^n-1，b_n=2-2n（8分）
②S_n=c₁+c₂++c_n=（a₁+a₂++a_n）+（b₁+b₂++b_n）=

1-2n

1-2

+

n(2-2n)

2

=2n-n2+n-1（12分）

點評：求數列的和時，先判斷數列的通項的特點，然后選擇合適的求和方法．