Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)，并在所給的坐標系中畫出該函數(shù)的圖象；
（2）寫出該函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)間（不要求證明）；
（3）求不等式f（x）≤3的解集．

Answer 1

分析 （1）分三段討論并根據(jù)表達式畫出函數(shù)圖象；
（2）由圖象得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域；
（3）分三段討論得出不等式的解集．

解答 解：（1）f（x）=|x-1|+|x-2|，分三段討論如下：
①當x≥2時，f（x）=2x-3；
②當1≤x＜2時，f（x）=1；
③當x＜1時，f（x）=-2x+3，
所以，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-3，x≥2}\\{1，1≤x＜2}\\{-2x+3，x＜1}\end{array}\right.$，圖象如右圖；
（2）函數(shù)f（x）的值域為：[1，+∞），
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[2，+∞），
函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為：（-∞，1]；
（3）要解不等式f（x）≤3，需分三段討論如下：
①當x≥2時，f（x）=2x-3≤3，解得，2≤x≤3；
②當1≤x＜2時，f（x）=1≤3恒成立，所以，1≤x＜2；
③當x＜1時，f（x）=-2x+3≤3，解得，0≤x＜1，
綜合以上討論得，f（x）≤3的解集為：[0，3]．

點評 本題主要考查了分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及分段函數(shù)的表示，圖象的作法，值域，單調(diào)區(qū)間和不等式的解法，屬于中檔題．