Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}的首項a₁=b（b≠0）的前n項和為S_n，數(shù)列{S_n}為等比數(shù)列，q為公比，且0＜q＜1，
（1）求證：數(shù)列{a_n}以第二項起成等比數(shù)列；
（2）求：a₁S₁+a₂S₂+…+a_nS_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等比數(shù)列的通項公式和數(shù)列的通項與求和之間的關(guān)系，即可得證；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到．

解答 （1）證明：數(shù)列{S_n}為等比數(shù)列，q為公比，且0＜q＜1，
即有S_n=S₁•q^n-1=a₁•q^n-1=b•q^n-1，
n=1時，a₁=S₁=b，
n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=b•q^n-1-b•q^n-2=b（q-1）•q^n-2，
對n=1不成立．
故數(shù)列{a_n}以第二項b（q-1），成公比為q的等比數(shù)列；
（2）解：a₁S₁+a₂S₂+…+a_nS_n=b²+b²q（q-1）+b²q³（q-1）+…+b²（q-1）q^2n-3
=b²+b²q（q-1）（1+q²+…+q^2n-4）
=b²+b²q（q-1）•$\frac{1-{q}^{2n-2}}{1-{q}^{2}}$
=b²+b²q•$\frac{{q}^{2n-2}-1}{q+1}$．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的通項和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的通項和求和之間的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．