Question

【題目】已知數(shù)列中， ，數(shù)列滿足.

（1）求證:數(shù)列是等差數(shù)列，寫出的通項公式；

（2）求數(shù)列的通項公式及數(shù)列中的最大項與最小項.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）， .

【解析】試題分析：(Ⅰ)首先通過已知條件化簡變形，湊出這種形式，湊出常數(shù)，

就可以證明數(shù)列是等差數(shù)列，并利用等差數(shù)列的通項公式求出通項公式；（Ⅱ）因為與有關，所以利用的通項公式求出數(shù)列的通項公式，把通項公式看成函數(shù)，利用函數(shù)圖像求最大值和最小值.

試題解析：（Ⅰ）∵，∴，∴，

∴，∴數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列. 4分

∵，∴，又∵， ，

∴是以為首項， 為公差的等差中項.

∴， . 7分

（Ⅱ）∵， ， .

∴作函數(shù)的圖像如圖所示：

∴由圖知，在數(shù)列中，最大項為，最小項為. 13分

另解：，當時，數(shù)列是遞減數(shù)列，且.

列舉；；.所以在數(shù)列中，最大項為，最小項為.