Question

已知曲線f（x）=

3

sinωx+cosωx關于直線x=

π

2

對稱，當ω取最小正數(shù)時（　　）

• A、f（x）在（0，

  π

  6

  ）單調(diào)遞增
• B、f（x）在（

  π

  6

  ，

  π

  3

  ）單調(diào)遞增
• C、f（x）在（-

  π

  6

  ，0）單調(diào)遞減
• D、f（x）在（-

  π

  3

  ，-

  π

  6

  ）單調(diào)遞減

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角恒等變換，可求得f（x）=2sin（ωx+

π

6

），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得

π

2

ω+

π

6

=kπ+

π

6

（k∈Z），從而可求得ω_min=2，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案．

解答： 解：∵f（x）=

3

sinωx+cosωx
=2（

3

2

sinωx+

1

2

cosωx）
=2sin（ωx+

π

6

），
其圖象關于直線x=

π

2

對稱，
∴

π

2

ω+

π

6

=kπ+

π

6

（k∈Z），
∴ω=2k（k∈Z），又ω＞0，
∴ω_min=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
由-

π

2

＜2x+

π

6

＜

π

2

，
∴-

π

3

＜x＜

π

6

，
∴f（x）在（-

π

3

，

π

6

）單調(diào)遞增，可排除D；
又（0，

π

6

）⊆（-

π

3

，

π

6

），
∴f（x）在（0，

π

6

）單調(diào)遞增，即A正確，B錯誤；
又（-

π

6

，0）⊆（-

π

3

，

π

6

），f（x）在區(qū)間（-

π

6

，0）上單調(diào)遞增，故C錯誤；
故選：A．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，著重考查正弦函數(shù)的對稱性與單調(diào)性，考查運算求解能力，屬于中檔題．