Question

9．已知f（x）=$\sqrt{x}$-$\frac{1}{x}$．求證：
（1）f（x）在定義域上為增函數(shù)；
（2）滿足等式f（x）=1的實(shí)數(shù)x的值至多只有一個(gè)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，從而證明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）在定義域上為增函數(shù)；
（2）可求出$f（1）=0，f（4）=\frac{7}{4}$，而f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，且是連續(xù)函數(shù)，從而便可得出滿足等式f（x）=1的實(shí)數(shù)x的值至多只有一個(gè)．

解答 證明：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），設(shè)x₁＞x₂＞0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\sqrt{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=$（\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}）+\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴$\sqrt{{x}_{1}}＞\sqrt{{x}_{2}}$，$\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}＞0，{x}_{1}-{x}_{2}＞0，{x}_{1}{x}_{2}＞0$；
∴$（\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}）+\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在定義域上為增函數(shù)；
（2）f（1）=0，f（4）=$\frac{7}{4}$，$1∈（0，\frac{7}{4}）$；
又f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）是連續(xù)函數(shù)；
∴滿足等式f（x）=1的實(shí)數(shù)x的值至多只有一個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)定義域的概念及求法，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，單調(diào)函數(shù)中的x，y的對(duì)應(yīng)關(guān)系．