Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²+(a-1)n(a∈R).設(shè)集合A={(a_n,)|n∈N^*},B={(x,y)|x²-y²=1,x、y∈R}.

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式.

(2)若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則這些點(diǎn)是否都在同一條直線上?并說明理由.

(3)“A∩B至多只有一個(gè)元素”是否正確?如果正確,請給予證明;如果不正確,請舉例說明.

Answer 1

解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a₁=S₁=1+a-1=a;

當(dāng)n≥2時(shí),a_n=S_n-S_n-1=［n²+(a-1)n］-［(_n-1)²+(a-1)(_n-1)］=2n+a-2.

可見,當(dāng)n=1時(shí),滿足上式.

∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2n+a-2(n∈N^*).

(2)由數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n+a-2,可知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列.

∴S_n=.∴(a_n+a).

∴點(diǎn)(a_n, )的坐標(biāo)滿足方程y=(x+a).

∴點(diǎn)(a_n, )在直線y=(x+a)上.

∴以集合A中的元素為坐標(biāo)的點(diǎn)(a_n, )均在直線y=(x+a)上.

(3)由消去y,

得2ax=-a²-4.①當(dāng)a=0時(shí),方程①無解,此時(shí),A∩B=?;

當(dāng)a≠0時(shí),方程①只有一個(gè)解x=.

此時(shí)方程組也只有一個(gè)解,即x=

故上述方程組至多有一解,∴A∩B至多有一個(gè)元素.