Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+3的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和（1，+∞）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若t∈R，試討論關于x的方程f（x）=2x²+8x+t的實數(shù)根的個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設得f'（x）=0的根為或x=1，由此求得a=b=-1；
（2）令g（x）=f（x）-（2x²+8x+t），利用導數(shù)求出函數(shù)g（x）的極大值與極小值，對參數(shù)t分類討論，即可得到函數(shù)的零點個數(shù)亦即方程的根的個數(shù)．
解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b
由題設得f'（x）=0的根為或x=1
由此求得a=b=-1
故f（x）=x³-x²-x+3
（2）g（x）=f（x）-（2x²+8x+t）=x³-3x²-9x+3-t
令g'（x）=3x²-6x-9=0，得x=-1或x=3

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
g'（x）	+		-		+
g（x）	增	極大值	減	極小值	增

g（x）_極大值=g（-1）=8-t，g（x）_極小值=g（3）=-24-t
∴當8-t＜0，即t＞8時，原方程有一個實數(shù)根；
當8-t=0，即t=8時，原方程有兩個實數(shù)根；
即-24＜t＜8時，原方程有三個實數(shù)根；
當-24-t=0，即t=-24時，原方程有兩個實數(shù)根；
當-24-t＞0，即t＜-24時，原方程有一個實數(shù)根．
綜上，當t=-24或t=8時，原方程有兩個實數(shù)根；
當t＜-24或t＞8時，原方程有兩個實數(shù)根；
當-24＜t＜8時，原方程有三個實數(shù)根．
點評：考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，以及一元二次方程根的存在性的判定，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬中檔題．