Question

已知某橢圓的焦點(diǎn)F₁（－4,0），F₂（4,0），過點(diǎn)F₂并垂直于x軸的直線與橢圓的一個焦點(diǎn)為B，且＝10，橢圓上不同兩點(diǎn)A（x₁,y₁）,C(x₂,y₂)滿足條件｜F₂A｜，｜F₂B｜，｜F₂C｜成等差數(shù)列.

（1）求該橢圓的方程；

（2）求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

Answer 1

1）由橢圓的定義及已知條件知：2a＝｜F₁B｜＋｜F₂B｜＝10，所以a=5,又c＝3，故b=4.故橢圓的方程為.

由點(diǎn)B（4，y₀）在橢圓上，得｜F₂B｜＝｜y₀|＝，因?yàn)闄E圓的右準(zhǔn)線方程為，離心率.所以根據(jù)橢圓的第二定義，有

.因?yàn)椋?i>F₂A｜，｜F₂B｜，｜F₂C｜成等差數(shù)列，＋，所以：　　x₁+x₂=8,

從而弦AC的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

解析:

因?yàn)橐阎獥l件中涉及到橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，所以可以從橢圓的定義入手點(diǎn)評：涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離問題，常常要注意運(yùn)用第一定義，而涉及曲線上的點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離，常常用圓錐曲線的統(tǒng)一定義.對于后者，需要注意的是右焦點(diǎn)與右準(zhǔn)線對應(yīng)，不能弄錯.