Question

（本小題滿分12分）

給定橢圓：，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是

橢圓的“準(zhǔn)圓”。若橢圓的一個焦點(diǎn)為，其短軸上的一個端點(diǎn)到的距

離為.

（Ⅰ）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程.

（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn)，過動點(diǎn)作直線使得與橢

圓都只有一個交點(diǎn)，且分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)；

（1）當(dāng)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時，求的方程.

（2）求證：為定值.

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ），橢圓方程為，…………2分

準(zhǔn)圓方程為。                                   …………3分

（Ⅱ）（1）因?yàn)闇?zhǔn)圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，

設(shè)過點(diǎn)且與橢圓有一個公共點(diǎn)的直線為，

所以由消去，得.

因?yàn)闄E圓與只有一個公共點(diǎn)，

所以，解得。     …………………………5分

所以方程為.              …………………………6分

（2）①當(dāng)中有一條無斜率時，不妨設(shè)無斜率，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052421201471878549/SYS201205242122210781981328_DA.files/image014.png">與橢圓只有一個公共點(diǎn)，則其方程為，

當(dāng)方程為時，此時與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)，

此時經(jīng)過點(diǎn)（或）且與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線是（或），

即為（或），顯然直線垂直；

同理可證方程為時，直線垂直.        …………………………7分

②當(dāng)都有斜率時，設(shè)點(diǎn)，其中.

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為，

則消去，得.

由化簡整理得：.…………………………8分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052421201471878549/SYS201205242122210781981328_DA.files/image025.png">，所以有.

設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052421201471878549/SYS201205242122210781981328_DA.files/image012.png">與橢圓只有一個公共點(diǎn)，

所以滿足上述方程，

所以，即垂直.                      …………………………10分

綜合①②知：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052421201471878549/SYS201205242122210781981328_DA.files/image012.png">經(jīng)過點(diǎn)，又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)，且垂直，所以線段為準(zhǔn)圓的直徑，所以=4.       ………………………12分

 

【解析】略