Question

8．設α為銳角，若sin（$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{4}{5}$，則sin（2α+$\frac{π}{3}$）的值為$\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 由已知利用誘導公式可求cos（$\frac{π}{6}$+α）=$\frac{4}{5}$，結合角為銳角，即可求得sin（$\frac{π}{6}$+α）的值，利用二倍角的正弦函數公式即可求值．

解答 解：∵sin（$\frac{π}{3}$-α）=cos[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{3}$-α）]=cos（$\frac{π}{6}$+α）=$\frac{4}{5}$，
∵α為銳角，$\frac{π}{6}$+α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
∴sin（$\frac{π}{6}$+α）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{π}{6}+α）}$=$\frac{3}{5}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{π}{6}$+α）cos（$\frac{π}{6}$+α）=2×$\frac{4}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{24}{25}$．
故答案為：$\frac{24}{25}$．

點評 本題主要考查了誘導公式，二倍角的正弦函數公式的應用，分析角的關系是解題的關鍵，屬于基礎題．