Question

證明：正方體對(duì)角線與其不相交的面的對(duì)角線垂直．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．要證明

AC1

⊥

DB

，只要證明

AC1

•

DB

=0即可．

解答： 證明：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)AB=1．
則A（0，0，0），B（0，1，0），D（1，0，0），C₁（1，1，1）．
∴

AC1

=（1，1，1），

DB

=（-1，1，0）．
∵

AC1

•

DB

=-1+1+0=0，
∴

AC1

⊥

DB

．
即正方體對(duì)角線與其不相交的面的對(duì)角線垂直．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．