Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，點（1，

3

4

a）在橢圓上．直線x+y-m=0與橢圓恰有一個公共點．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）已知O為坐標原點，P為橢圓上的動點，作正方形OPMN（O，P，M，N按順時針方向排列），求動點N的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）先求出橢圓方程，再利用直線x+y-m=0與橢圓恰有一個公共點，根據(jù)判別式為0，即可求m的值；
（Ⅱ）設P（2cosθ，

3

sinθ），N（x，y），則

OP

=（2cosθ，

3

sinθ），

ON

=（x，y），可得

2xcosθ+ 3 ysinθ=0 4cos2θ+3sin2θ=x2+y2

，消去參數(shù)，即可求動點N的軌跡方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，點（1，

3

4

a）在橢圓上．
∴

1 a2 + 9a2 16b2 =1 c a = 1 2

，
∴a=2，b=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
直線方程代入橢圓方程，可得7x²-8mx+4m²-12=0，
∴△=64m²-28（4m²-12）=0，
∴m=±

7

；
（Ⅱ）設P（2cosθ，

3

sinθ），N（x，y），則

OP

=（2cosθ，

3

sinθ），

ON

=（x，y），
∴

2xcosθ+ 3 ysinθ=0 4cos2θ+3sin2θ=x2+y2

，
∴

cos2θ= 3y2 4x2+3y2 cos2θ+3=x2+y2

，
∴

x2

3

+

y2

4

=1，
∴N的軌跡方程為

x2

3

+

y2

4

=1．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查參數(shù)法求軌跡方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．