Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．

(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時(shí)）．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí) ，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí)．

【解析】

試題分析：(1)當(dāng)0≤x≤20時(shí)，速度v(x)是一個(gè)常數(shù)60；當(dāng)0≤x≤20時(shí)，設(shè)v(x)＝ax＋b.

當(dāng)x =20時(shí)，v=60；當(dāng)x=200時(shí)，v=0，代入v(x)＝ax＋b得：20a＋b＝60，200a＋b＝0.

解這個(gè)方程組便可得a、b的值，從而得函數(shù)v(x)的表達(dá)式.

 (2)由(1)可得f(x)＝x·v(x)的解析式，該函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，所以分別求出每一段的最大值，然后比較它們的大小，取大者即車流量的最大值．

試題解析：(1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)＝60；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，設(shè)v(x)＝ax＋b，

再由已知條件得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－，b＝.

故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為

(2)依題意并由(1)可得：

.

當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為60×20＝1200；

當(dāng)20≤x≤200時(shí)，≤，

當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時(shí)，等號(hào)成立．

所以，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值.

綜上，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3333，

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí) ，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí)．

考點(diǎn)：1、函數(shù)的應(yīng)用；2、分段函數(shù)；3、函數(shù)的最值；4、重要不等式.