Question

（2013•東莞二模）如圖，圓O與離心率為

3

2

的橢圓T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相切于點M（0，1）．
（1）求橢圓T與圓O的方程；
（2）過點M引兩條互相垂直的兩直線l₁、l₂與兩曲線分別交于點A、C與點B、D（均不重合）．
①若P為橢圓上任一點，記點P到兩直線的距離分別為d₁、d₂，求

d

2 1

+

d

2 2

的最大值；
②若3

MA

•

MC

=4

MB

•

MD

，求l₁與l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可知圓的半徑等于1，橢圓的短半軸等于1，根據(jù)e=

c

a

=

3

2

，結合a²=b²+c²求出橢圓的長半軸，則橢圓方程和圓的方程可求；
（2）①因為兩直線l₁、l₂相互垂直，所以點P到兩直線的距離d₁、d₂的平方和可轉化為P點到M點距離的平方，利用點P在橢圓上把要求的式子化為含P點縱坐標的函數(shù)，利用二次函數(shù)可求最大值；
②設出直線l₁的方程，分別和圓的方程及橢圓方程聯(lián)立A，C點的坐標，利用置換k的方法求出B，D點的坐標，分別寫出向量

MA

，

MC

，

MB

，

MD

的坐標，代入若3

MA

•

MC

=4

MB

•

MD

中求出k的值，則l₁與l₂的方程的方程可求．

解答：解：（1）由題意知：

c

a

=

3

2

，b=1．
又a²=b²+c²，所以a²=c²+1，
聯(lián)立

c a = 3 2 a2=c2+1

，解得a=2，c=

3

所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．圓O的方程x²+y²=1；
（2）①設P（x₀，y₀）因為l₁⊥l₂，則d12+d22=PM2=x02+(y0-1)2，
因為

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，所以d12+d22=4-4y02+(y0-1)2=-3(y0+

1

3

)2+

16

3

，
因為-1≤y₀≤1，所以當y0=

1

3

時，

d

2 1

+

d

2 2

取得最大值為

16

3

，此時點P(±

4 2

3

，

1

3

)．
②設l₁的方程為y=kx+1，
由

y=kx+1 x2+y2=1

，得：（k²+1）x²+2kx=0，由x_A≠0，所以xA=-

2k

k2+1

，
代入y=kx+1得：yA=

1-k2

1+k2

．
所以A(-

2k

k2+1

，

1-k2

1+k2

)．
由

y=kx+1 x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kx=0，由x_C≠0，所以xC=-

8k

4k2+1

，
代入y=kx+1得：yC=

1-4k2

1+4k2

．
所以C(-

8k

4k2+1

，

1-4k2

1+4k2

)．
把A，C中的k置換成-

1

k

可得B(

2k

k2+1

，

k2-1

k2+1

)，D(

8k

k2+4

，

k2-4

k2+4

)
所以

MA

=(-

2k

k2+1

，

-2k2

1+k2

)，

MC

=(

-8k

4k2+1

，

-8k2

4k2+1

)

MB

=(

2k

k2+1

，

-2

k2+1

)，

MD

=(

8k

k2+4

，

-8

k2+4

)
由3

MA•

MC

=4

MB

•

MD

，
得3[(-

2k

k2+1

)(-

8k

4k2+1

)+(-

2k2

1+k2

)(-

8k2

1+4k2

)]
=4[

2k

k2+1

•

8k

k2+4

+(-

2

k2+1

)(-

8

k2+4

)]，
整理得：

3k2

1+4k2

=

4

k2+4

，即3k⁴-4k²-4=0，解得k=±

2

．
所以l₁的方程為y=

2

x+1，l₂的方程為y=-

2

2

x+1
或l₁的方程為y=-

2

x+1，l₂的方程為y=

2

2

x+1．

點評：本題考查了圓的標準方程，橢圓的標準方程，直線和圓錐曲線的位置關系，考查了數(shù)學轉化思想和方程思想方法，訓練了學生的計算能力，屬難題．