Question

14．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F（-c，0），P在雙曲線的右支上，直線PF與圓（x+$\frac{c}{2}$）²+y²=$\frac{b^2}{16}$相切于點Q，且$\overrightarrow{PQ}$=3$\overrightarrow{QF}$，則雙曲線的離心率e的值為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 運用對應邊成比例，可得QC∥PE，再由雙曲線的定義，以及直線和圓相切的性質，運用勾股定理和離心率公式，建立方程關系即可得到結論．

解答 解：設左焦點為F′，
圓心坐標C（-$\frac{c}{2}$，0），半徑R=$\frac{4}$，
則$\frac{FC}{FE}$=$\frac{\frac{c}{2}}{2c}$=$\frac{1}{4}$，
∵$\overrightarrow{PQ}$=3$\overrightarrow{QF}$，
∴|$\overrightarrow{PQ}$|=3|$\overrightarrow{QF}$|，
∴$\frac{FQ}{FP}$=$\frac{1}{4}$，
即$\frac{FQ}{FP}$=$\frac{FC}{FE}$=$\frac{1}{4}$，
則QC∥PE，
則PE=4QC=4×$\frac{4}$=b，
∵直線PF與圓（x+$\frac{c}{2}$）²+y²=$\frac{b^2}{16}$相切于點Q，
∴QC⊥PF，
則PE⊥PF，
則PF=$\sqrt{F{E}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{4{c}^{2}-^{2}}$，
由雙曲線的定義可得，|PF|-|PE|=2a，
即$\sqrt{4{c}^{2}-^{2}}$-b=2a，
即$\sqrt{4{c}^{2}-^{2}}$=2a+b，
平方得4c²-b²=4a²+4ab+b²，
即4c²-4a²-2b²=4ab，
即4b²-2b²=4ab，
即2b²=4ab，
則b=2a，c²=5a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的定義和性質，考查離心率的求法，考查直線和圓相切的條件，以及中位線定理和勾股定理的運用，考查運算能力，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．