Question

已知雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1滿足：實軸長為

2

，離心率為

3

．
（1）求曲線C₁的方程；
（2）設斜率為1的直線l交C₁于P、Q兩點，若l與圓x²+y²=1相切，求證：OP⊥OQ；
（3）設橢圓C₂：4x²+y²=1．若M、N分別是C1、C2上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

a= 2 2 c a = 3 c2=a2+b2

，由此能求出雙曲線．
（2）設直線PQ的方程是y=x+b．由直線與圓相切，得b²=2．由

y=x+b 2x2-y2=1

，得x²-2bx-b²-1=0．由此利用韋達定理結合已知條件能證明OP⊥OQ．
（3）當直線ON垂直于x軸時，O到直線MN的距離為

3

3

．當直線ON不垂直于x軸時，設直線ON的方程為y=kx由

y=kx 4x2+y2=1

，得

x2= 1 4+k2 y2= k2 4+k2

，由此能證明O到直線MN的距離是定值．

解答： （1）解：∵雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1滿足：實軸長為

2

，離心率為

3

，
∴由已知得

a= 2 2 c a = 3 c2=a2+b2

，解得b=1，
∴雙曲線方程為：

x2

1 2

-y2=1．
（2）證明：設直線PQ的方程是y=x+b．
∵直線與已知圓相切，
∴

|b|

2

=1，即b²=2．
由

y=x+b 2x2-y2=1

，得x²-2bx-b²-1=0．
設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則

x1+x2=2b x1x2=-b2-1

．
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=2x1x2+b(x1+x2)+b2=2（-b²-1）+b•2b+b²=b²-2=0，
∴OP⊥OQ．
（3）證明：當直線ON垂直于x軸時，
|ON|=1，|OM|=

2

2

，則O到直線MN的距離為

3

3

．
當直線ON不垂直于x軸時，
設直線ON的方程為y=kx（顯然|k|＞

2

2

），則直線OM的方程為y=-

1

2

x．
由

y=kx 4x2+y2=1

，得

x2= 1 4+k2 y2= k2 4+k2

，
∴|ON|²=

1+k2

4+k2

．
同理|OM|²=

1+k2

2k2-1

．
設O到直線MN的距離為d，
∵（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，
∴

1

d2

=

1

|OM|2

+

1

|ON|2

=

3k2+3

k2+1

=3，即d=

3

3

．
綜上，O到直線MN的距離是定值．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查直線垂直的證明，考查點到直線的距離為定值的證明，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．