Question

【題目】已知橢圓： 經(jīng)過點(diǎn)，焦距為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，線段的垂直平分線交軸交于點(diǎn)，若，求的值.

Answer 1

【答案】(1) (2) 或.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意可知，將點(diǎn)帶入橢圓方程后聯(lián)立方程組即可求得，即可得到橢圓得標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 設(shè)，線段中點(diǎn)坐標(biāo)，由整理得： ，結(jié)合韋達(dá)定理，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，由可得點(diǎn)坐標(biāo)，再由線段的垂直平分線交軸交于點(diǎn)及，求得，從而求出的值.

試題解析：（1）由題意得，所以，

又點(diǎn)在橢圓上，

所以： ，

整理得： ，

解得： 或（舍），

∴，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： .

（2）設(shè)，線段中點(diǎn)坐標(biāo)，

由整理得： ，

∴，

∴，

又， ，

∴，

∴，

∴線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為

又 ，

∴，

又，

∴，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴ ，

∵垂直平分，

∴，

又，

解得或（舍），

∴在中， ，

∴，

∴，

∴或.