Question

已知F₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足

MF1

•

MF2

=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，根據(jù)題意可得點(diǎn)M在以為F₁F₂直徑的圓上運(yùn)動(dòng)且這個(gè)圓上的點(diǎn)都在橢圓內(nèi)部．由此建立a、b、c的不等式，解出a＞

2

c．再利用離心率的公式加以計(jì)算，可得此橢圓離心率的取值范圍．

解答：解：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)為F₁（-c，0）、F₂（c，0），如圖所示．
若點(diǎn)M滿足

MF1

•

MF2

=0，則

MF1

⊥

MF2

，
可得點(diǎn)M在以為F₁F₂直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∵滿足

MF1

•

MF2

=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，
∴以為F₁F₂直徑的圓是橢圓內(nèi)部的一個(gè)圓，即橢圓短軸的端點(diǎn)在橢圓內(nèi)．
由此可得b＞c，即

a2-c2

c，解之得a＞

2

c．
因此橢圓的離心率e=

c

a

＜

2

2

，橢圓離心率的取值范圍是（0，

2

2

）．
故答案為：（0，

2

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的離心率的范圍．著重考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．