Question

18.如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)l在x軸和y軸上的截距分別是a和b（a>0，b≠0），且交拋物線(xiàn)y²=2px（p>0）于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點(diǎn).

（Ⅰ）寫(xiě)出直線(xiàn)l的截距式方程；

（Ⅱ）證明：；

（Ⅲ）當(dāng)a＝2p時(shí)，求∠MON的大小.

Answer 1

18.本小題主要考查直線(xiàn)、拋物線(xiàn)等基本知識(shí)，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

（Ⅰ）解：直線(xiàn)l的截距式方程為

　　　　　　　�、�

（Ⅱ）證明：由①及消去x可得

　�、�

點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)y₁，y₂為②的兩個(gè)根，故

y₁+y₂=，y₁y₂=－2pa.

所以

（Ⅲ）解：設(shè)直線(xiàn)OM，ON的斜率分別為k₁，k₂，

則k₁=，k₂=.

當(dāng)a=2p時(shí)，由（Ⅱ）知，

由y₁²=2px₁，y₂²＝2px₂相乘得（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，

x₁x₂===4p²，

因此k₁k₂==＝－1，

所以OM⊥ON，即∠MON＝90°.