Question

14．已知等邊△ABC的高為3，點P和點M是平面ABC內的動點，且|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，則|$\overrightarrow{BM}$|的最小值為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 畫出圖形，建立坐標系，求出P的軌跡方程，M的軌跡方程，然后利用方程求解|$\overrightarrow{BM}$|的最小值．

解答 解：由等邊△ABC的高為3，可得△ABC為邊長為2$\sqrt{3}$的正三角形，
如圖建立平面坐標系，A（0，3），B（-$\sqrt{3}$，0），C（$\sqrt{3}$，0），
由|$\overrightarrow{AP}$|=1得點P的軌跡方程為x²+（y-3）²=1①，
設M（x₀，y₀），由$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$得P（2x₀-$\sqrt{3}$，2y₀），
代入①式得M的軌跡方程為（x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
記圓心為N（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
則|$\overrightarrow{BM}$|的最小值為|BN|-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$-$\frac{1}{2}$
=3-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查軌跡方程的求法，曲線與方程的關系，幾何意義的應用，考查計算能力，屬于中檔題．