Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)P（1，

3

2

），且離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過右焦點(diǎn)F的動(dòng)直線交橢圓于點(diǎn)A、B，設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為C連接CA、CB且交直線l：x=m于M、N，若以MN為直徑的圓恒過右焦點(diǎn)F，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)P（1，

3

2

），且離心率e=

1

2

，建立方程組，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出

FM

=（m-

2

，

y1

x1+2

(x+2)）

FN

=（m-

2

，

y2

x2+2

(x+2)），結(jié)合以MN為直徑的圓恒過右焦點(diǎn)F，可得方程，即可求m的值．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)P（1，

3

2

），且離心率e=

1

2

∴

1 a2 + 9 4 b2 =1 a2-b2 a = 1 2

∴a²=4，b²=3
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
k存在時(shí)，設(shè)直線AB：y=k(x-

2

)，代入橢圓方程可得（2k²+1）x²-4

2

k2x+4k²-4=0
∴x1+x2=

4 2 k2

2k2+1

，x1x2=

4k2-4

2k2+1

∵CA：y=

y1

x1+2

(x+2)，∴M（m，

y1

x1+2

(x+2)）
∴

FM

=（m-

2

，

y1

x1+2

(x+2)）
同理，

FN

=（m-

2

，

y2

x2+2

(x+2)）
∵以MN為直徑的圓恒過右焦點(diǎn)F，
∴（m-

2

）²-（m+2）²•

( 2 -1)2

2

=0
∴m=2

2

當(dāng)k不存在時(shí)，△MNF為等腰直角△，∴M（m，m-

2

），A（

2

，1）
由C、B、M三點(diǎn)共線得到m=2

2

　
綜上，m=2

2

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．