Question

已知向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

），
（1）求證：

a

⊥

b

；
（2）若存在不同時為0的實數(shù)k和t，使

x

=

a

+（t-3）

b

，

y

=-k

a

+t

b

，且

x

⊥

y

，試求函數(shù)關(guān)系式k=f（t）；
（3）求函數(shù)k=f（t）的最小值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

專題：平面向量及應用

分析：（1）根據(jù)向量

a

和

b

的坐標，利用兩個向量的數(shù)量積公式求得

a

•

b

=0，可得 

a

⊥

b

．
（2）根據(jù)|

a

|=2，|

b

|=1，

a

•

b

=0，

x

⊥

y

，求得 

x

•

y

=[

a

+(t-3)

b

]•（k

a

+t

b

）=0，可得函數(shù)關(guān)系式k=f（t）．
（3）由（2）可得k=

t2-3t

4

=

(t- 3 2 )2- 9 4

4

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

），∴

a

•

b

=

3

×

1

2

+（-1）×

3

2

=0，
∴

a

⊥

b

．
（2）∵|

a

|=2，|

b

|=1，

a

•

b

=0，

x

⊥

y

，
∴

x

•

y

=[

a

+(t-3)

b

]•（-k

a

+t

b

）=-k

a

2+（-kt+3k+t）

a

•

b

+t（t-3）

b

2 
=-k×4+0+t（t-3）×1=0，
∴k=

t2-3t

4

(t≠0，t≠3)．
（3）根據(jù) k=

t2-3t

4

=

(t- 3 2 )2- 9 4

4

，∴當t=

3

2

時，kmin=-

9

16

．

點評：本題主要考查兩個向量坐標形式的運算，兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．