Question

10．若以原點O為圓心的圓同時經(jīng)過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點A₁及右頂點A₂，且被過焦點F（c，0）的直線l：x=c分成弧長為2：1的兩端圓弧，則該橢圓的離心率e等于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直線分圓的弧長關(guān)系求出∠DOC=120°，結(jié)合三角函數(shù)的定義求出D點的橫坐標(biāo)，建立a，c的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出對應(yīng)的圖象如圖，∵圓被過焦點F（c，0）的直線l：x=c分成弧長為2：1的兩端圓弧，
∴∠DOC=120°，即∠DOA=60°，
∵OD=a，∴x_D=acos60°=$\frac{a}{2}$=c，
即$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
故橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查橢圓離心率的求解，根據(jù)條件建立a，c的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．