Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的圖象與y軸的交點(diǎn)為（ ），它在y軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為（x0 ， 3），（x0+2π，﹣3）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）該函數(shù)的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？
（3）求這個函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得A=3，

由在y軸右側(cè)的第一個最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（x0，3），（x0+2π，﹣3），得： ，

∴T=4π，從而 ，可得：f（x）=3sin（ x+φ），

又圖象與y軸交于點(diǎn) ，

∴ ，

∵由于 ，

∴ ，

∴函數(shù)的解析式為

（2）解：將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移 個單位，再將得函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的兩倍，

最后將所得函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍得到函數(shù) 的圖象

（3）解：令2kπ﹣ ≤ x+ ≤2kπ﹣ ，k∈Z，解得x∈ ，可得函數(shù)的遞增區(qū)間為： ，

令 x+ =kπ，k∈Z，可得：x=2kπ﹣ ，k∈Z，可得函數(shù)的對稱中心：

【解析】（1）由題意可得A，T，利用周期公式可求ω，又圖象與y軸交于點(diǎn) ，結(jié)合范圍 ，可求φ，可得函數(shù)的解析式．（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律即可得解．（3）令2kπ﹣ ≤ x ≤2kπ﹣ ，k∈Z，解得函數(shù)的遞增區(qū)間，令 x+ =kπ，k∈Z，可得函數(shù)的對稱中心：
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，掌握圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象即可以解答此題．