Question

（本小題滿分14分）如圖，在四面體A−BCD中，AD^平面BCD，BC^CD，AD=2，BD=2．M是AD的中點.

（1）證明：平面ABC平面ADC；

（2）若ÐBDC=60°，求二面角C−BM−D的大�。�

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析(2)

【解析】

試題分析：(1)證明面面垂直幾何法就要證線面垂直,要證線面垂直就要證線線垂直;線線、線面、面面垂直之間相互轉化. 由題意知從點出發(fā)的三條件直線兩兩垂直,從而,又在平面內(nèi),所以可證得平面ABC平面ADC.證明面面垂直向量法可證法向量垂直,由題意知從點出發(fā)的三條件直線兩兩垂直,可以建立空間直角坐標系.

(2)求二面角可用兩種向量法(面向量和法向量)或幾何法,面向量法即在兩個半平面內(nèi)分別從頂點出發(fā)與棱垂直的兩個向量所成的角.幾何法(三垂線法)重點是找到二面角的平面角,①在幾何體內(nèi)找第三個平面與二面角的兩個半平都垂直,交線所成角即為平面角;如果找不到可以退而求其次,找第三個平面與二面角的其中一個半平垂直.②與另外一個半交于點,過點作交線的垂線③過點作棱的垂線④連所得到的為二面角的平面角⑤在直角三角形求角.用法向量法求二面角不容易判斷所求出的是二面角還是其補角,所以盡量不用它.

試題解析：

（1） 

又      （4分）

又          （6分）

（2）作CG^BD于點G，作GH^BM于點HG，連接CH.    （8分）

 

又 

又

又

所以ÐCHG為二面角的平面角.       （10分）

在Rt△BCD中，

CD=BD=，CG=CD，BG=BC

在Rt△BDM中，HG==

在Rt△CHG中，tanÐCHG=

所以即二面角C-BM-D的大小為60°.      （14分）

考點：二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定；平面與平面垂直的判定．