Question

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，AB=BC=CA=2, M為AB的中點(diǎn)，四點(diǎn)P、A、M、C都在球O的球面上．

（1）證明：平面PAB平面PCM；

（2）證明：線段PC的中點(diǎn)為球O的球心；

（3）若球O的表面積為，求三棱錐P―ABC的體積。

Answer 1

（1）證明：∵AC=BC，M為AB的中點(diǎn)，

∴CM⊥AB。

∵PA⊥平面ABC，CM平面ABC，

∴PA⊥CM。

∵ABPA=A，AB平面PAB，PB平面PAB。

∴CM⊥平面PAB。

∵CM平面PCM

∴平面PAB⊥平面PCM。

（2）證明：由（1）知CM⊥平面PAB。

∵PM平面PAB，

∴CM⊥PM

∵PA⊥平面ABC，AC平面ABC，

∴PA⊥AC 

取PC的中點(diǎn)N，連接MN、AN，在Rt△PAC中，點(diǎn)N為斜邊PC的中點(diǎn)，

    ∴MN=PN=NC。 

∴PN=NC=AN=MN

∴點(diǎn)N是球O的球心，即線段PC的中點(diǎn)為球O的球心。

（注：本題答案中符號(hào)“”等價(jià)于“”）

   （3）解：依題意得

 ∴PC=5，PA

∵AB=AC=BC=3，

∴△ABC的面積

∴三棱錐P―ABC的體積為