Question

【題目】（1）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長為4，漸近線方程為．求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過（1）中雙曲線上一點(diǎn)P的直線分別交兩條漸近于兩點(diǎn)，且P是線段AB的中點(diǎn)，求證：為常數(shù)；

（3）我們知道函數(shù)的圖象是由雙曲線的圖象逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到的，函數(shù)的圖象也是雙曲線，請(qǐng)嘗試寫出曲線的性質(zhì)（不必證明）．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求得雙曲線的方程；

（2）方法一：設(shè)A，B點(diǎn)坐標(biāo)，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求得；

方法二：分類討論，設(shè)直線AB的方程，分別求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求得；

（3）根據(jù)曲線方程，分別求得曲線的性質(zhì)．

（1）設(shè)雙曲線的方程為，由，

由雙曲線的漸近線方程為，則，則，

∴雙曲線的方程為：；

（2）法一：由題不妨設(shè)，則，

則P在雙曲線上，代入雙曲線方程得

法二：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，顯然，則；

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為

則，則，

同理，則，

此時(shí)，，代入雙曲線方程得，則

（3）①對(duì)稱中心：原點(diǎn)，對(duì)稱軸方程：，

②頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)：，，

實(shí)軸長：，虛軸長：2b=2，焦距：2c=4；

③范圍：x≠0，，

④漸近線：．