Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB= AD=a,

∠ADC=arccos,PA⊥面ABCD且PA=a.

(1)求異面直線AD與PC間的距離；

(2)在線段AD上是否存在一點F，使點A到平面PCF的距離為

Answer 1

(1)AE=a    (2)在AD上存在滿足條件的點F.

解析:

(1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC

從而AD與PC間的距離就是直線AD與平面PBC間的距離.

過A作AE⊥PB，又AE⊥BC

∴AE⊥平面PBC，AE為所求.

在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a

∴AE=a

(2)作CM∥AB，由已知cosADC=

∴tanADC=,即CM=DM

∴ABCM為正方形，AC=a,PC=a

過A作AH⊥PC,在Rt△PAC中，得AH=

下面在AD上找一點F，使PC⊥CF

取MD中點F，△ACM、△FCM均為等腰直角三角形

∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°

∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在滿足條件的點F.