Question

設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意都有成立， (其中、、是常數(shù))．

（1）當(dāng)，，時(shí)，求；

（2）當(dāng)，，時(shí)，

①若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②設(shè)數(shù)列中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“數(shù)列”.

如果，試問(wèn)：是否存在數(shù)列為“數(shù)列”，使得對(duì)任意，都有

，且．若存在，求數(shù)列的首項(xiàng)的所

有取值構(gòu)成的集合；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)=；(2)①；②存在，首項(xiàng)的所有取值構(gòu)成的集合為.

【解析】

試題分析：(1)要求，大多數(shù)時(shí)候要先求，本題實(shí)質(zhì)就是有關(guān)系式，那么我們可以用代得，兩式相減，可得出與的關(guān)系，本題正好得到數(shù)列是等比數(shù)列，故易求得和；(2) 實(shí)質(zhì)上的關(guān)系式是，這讓我們聯(lián)想到數(shù)列是等差數(shù)列，這里難點(diǎn)就在于證明是等差數(shù)列，證明方法是把等式中的用換得到一個(gè)式子，兩式相減可得，此式中含有常數(shù)，故再一次用代換此式中的，兩式相減可消去得數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)的關(guān)系，可證得是等差數(shù)列，那么這里①的通項(xiàng)公式易求；對(duì)于②這類問(wèn)題總是假設(shè)存在，然后去求，假設(shè)存在時(shí)，可知數(shù)列公差是2，即，由于它是“數(shù)列”，故任意兩項(xiàng)和還是數(shù)列中的項(xiàng)，即，可得是偶數(shù)，又由，得，娵，從而，下面對(duì)的值一一驗(yàn)證是否符合已知條件，

試題解析：（1）當(dāng)，，時(shí)，由得

                        ①

 用去代得，，   ②

 ②—①得，，，

 在①中令得，，則0，∴，

∴數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，

∴=

（2）當(dāng)，，時(shí)，

，                           ③

用去代得，，  ④

④—③得，       ，      ⑤

用去代得，，       ⑥

⑥—⑤得，，即，

∴數(shù)列是等差數(shù)列.∵，，

∴公差，∴

易知數(shù)列是等差數(shù)列，∵，∴.

又是“數(shù)列”，得：對(duì)任意，必存在使

，

得，故是偶數(shù)，

又由已知，，故

一方面，當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意，

都有

另一方面，當(dāng)時(shí)，，，

則，

取，則，不合題意.

當(dāng)時(shí)，，，則

，

當(dāng)時(shí)，，，

，

又，∴或或或

所以，首項(xiàng)的所有取值構(gòu)成的集合為

（其他解法,可根據(jù)【解】的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分）

考點(diǎn)：(1)已知與的關(guān)系，求和；(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和.