Question

如圖所示，直角梯形PBCD，PD∥BC，∠D=90°，PD=9，BC=3，CD=4，點(diǎn)A在PD上，且PA=2AD，將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC．

（Ⅰ）求證：SA⊥AD；
（Ⅱ）點(diǎn)E在SD上，且

SE

=

1

3

SD

，求二面角S-AC-E的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出四邊形ABCD為矩形，AB⊥BC，由SB⊥BC，得BC⊥平面SAB，由此能證明SA⊥AD．
（Ⅱ）由題意以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出二面角D-BE-C的余弦值．

解答： （本小題滿(mǎn)分12分）
（Ⅰ）證明：∵PD=9，PA=2AD，∴PA=6，AD=3，
又∵BC=3，AD∥BC，∠D=90°，
∴四邊形ABCD為矩形，AB⊥BC，…（2分）
又∵SB⊥BC，AB∩SB=B，故BC⊥平面SAB，…（4分）
從而B(niǎo)C⊥SA，又因?yàn)锽C∥AD，所以SA⊥AD．…（6分）
（Ⅱ）解：由題意和（ I）知SA⊥AB，SA⊥AD，AB⊥AD，
∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，3，0），S（0，0，6），
從而

AS

=(0，0，6)，

AC

=(4，3，0)，

SD

=(0，3，-6)
由

SE

=

1

3

SD

，
知

AE

=

AS

+

SE

=

AS

+

1

3

SD

=(0，0，6)+

1

3

×(0，3，-6)=(0，1，4)．…（8分）
設(shè)平面AEC的法向量為

m

=(x1，y1，z1)，
則

m • AC =0 m • AE =0

，即

4x1+3y1=0 y1+4z1=0

，
令z₁=1，則x₁=3，y₁=-4，可取

m

=(3，-4，1)，
設(shè)平面SAC的法向量為

n

=(x2，y2，z2)，
則

n • AC =0 n • AS =0

，即

4x2+3y2=0 6z2=0

，
令x₂=3，則y₂=-4，z₂=0，可取

n

=(3，-4，0)，…（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

25

5 26

=

5 26

26

，
故二面角D-BE-C的余弦值為

5 26

26

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線(xiàn)垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．