Question

已知△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4．
（I）一只螞蟻在BC邊上爬行，求螞蟻到頂點(diǎn)B的距離小于1的概率．
（Ⅱ）若螞蟻在三角形內(nèi)部爬行，求螞蟻到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于1的概率．

Answer 1

【答案】分析：（I）本題考查的知識點(diǎn)是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出螞蟻距離三角形的頂點(diǎn)B的距離均超過1時(shí)對應(yīng)線段的長度，并將它同BC長一齊代入幾何概型的計(jì)算公式，進(jìn)行求解．
（II）先畫示意圖，在△ABC中利用三角形面積求得三角形的面積，再求出圖中陰影部分的面積，最后利用幾何概型即可救是本題中螞蟻恰在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于1的地方的概率．
解答：解：（Ⅰ）記A=“螞蟻到頂點(diǎn)B的距離小于1”，Ω=“螞蟻在BC邊上爬行”，
根據(jù)幾何概型計(jì)算公式 ，
∴螞蟻到頂點(diǎn)B的距離小于1的概率是…（2分）
（Ⅱ）畫示意圖，如圖．
試驗(yàn)的全部結(jié)果為一個(gè)ABC區(qū)域．S_Ω=6，
圖中非陰影部分的面積為三角形ABC的面積減去半徑為1的半圓的面積即S_M=，
根據(jù)幾何概型計(jì)算公式
∴螞蟻到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于1的概率為…（4分）
點(diǎn)評：幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P=N（A）/A求解．