Question

16．如圖AB為圓O直徑，P為圓O外一點，過P點作PC⊥AB，垂足為C，PC交圓O于D點，PA交圓O于E點，BE交PC于F點
（Ⅰ）求證：∠PFE=∠PAB；
（Ⅱ）求證：CD²=CF•CP．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在Rt△ACP中，∠PAC=90°-∠P；在Rt△PEF中，∠PFE=90°-∠P，即可證明：∠PFE=∠PAB；
（Ⅱ）證明△BCF∽△PCA，即可證明CD²=CF•CP．

解答 證明：（Ⅰ）AB為直徑，E在圓O上，BE⊥AE   
∵PC⊥AB，
∴∠PAC=90°-∠P，∠PFE=90°-∠P，
∴∠PAB=∠PFE-----------（5分）
（Ⅱ）連結AD、BD則AD⊥BD   Rt△ABD中   CD²=AC•CB
由（Ⅰ）得△BCF∽△PCA，∴$\frac{BC}{PC}=\frac{CF}{AC}$，
∴CD²=BC•AC=CF•CP，
∴CD²=CF•CP-----------（10分）

點評 本題考查與圓有關的比例線段，考查三角形相似的判定，屬于中檔題．