Question

已知中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓，它的離心率為，一個焦點和拋物線的焦點重合,過直線上一點M引橢圓的兩條切線，切點分別是A,B.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若在橢圓上的點處的橢圓的切線方程是. 求證:直線恒過定點；并出求定點的坐標.

（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得恒成立？(點為直線恒過的定點)若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）設切點坐標為,,直線上一點M的坐標切線方程分別為，。兩切線均過點M，即即點A,B的坐標都適合方程故直線AB的方程是，直線AB恒過定點（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（I）設橢圓方程為。拋物線的焦點是，故，又，所以，

所以所求的橢圓方程為      ……………3分

（II）設切點坐標為,,直線上一點M的坐標。則切線方程分別為，。又兩切線均過點M，即，即點A,B的坐標都適合方程，而兩點之間確定唯一的一條直線，故直線AB的方程是，顯然對任意實數(shù)t，點（1,0）都適合這個方程，故直線AB恒過定點。          ………………………………6分[

（III）將直線AB的方程，代入橢圓方程，得

，即

所以…………………..8分

不妨設

，同理……10分

所以

即。

故存在實數(shù)，使得。  ……………………12分

考點：橢圓性質(zhì)與方程，直線與橢圓相交的弦長

點評：直線與橢圓相交問題要充分利用韋達定理使其簡化解題過程，圓錐曲線題目一直是學生得分較低的類型