Question

7．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并且a₁，a₂+1，a₃是公差為-3的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_2n，記S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，證明：${S_n}＜\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₁，a₂+1，a₃是公差為-3的等差數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_2}+1={a_1}-3\\{a_3}=（{a_2}+1）-3\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a_1}q-{a_1}=-4\\{a_1}{q^2}-{a_1}q=-2\end{array}\right.$，
解得${a_1}=8{，_{\;}}q=\frac{1}{2}$．
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}=8×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}={2^{4-n}}$．  
（Ⅱ）證明：∵$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{2n+2}}}}{{{a_{2n}}}}=\frac{1}{4}$，
∴數(shù)列{b_n}是以b₁=a₂=4為首項(xiàng)，$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列．
∴${S_n}=\frac{{4[1-{{（\frac{1}{4}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{4}}}$=$\frac{16}{3}[1-{（\frac{1}{4}）^n}]＜\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．