Question

已知函數(shù)f(x)=，x∈［1，＋∞］

（1）當a=時，求函數(shù)f(x)的最小值；

（2）若對任意x∈[1，＋∞，f(x)＞0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解析： (1)當a=時，f(x)=x＋＋2，x∈1，＋∞)

設x₂＞x₁≥1，則f(x₂)－f(x₁)=x₂＋=(x₂－x₁)＋=(x₂－x₁)(1－)

∵x₂＞x₁≥1，∴x₂－x₁＞0，1－＞0，則f(x₂)＞f(x₁)

可知f(x)在［1，＋∞)上是增函數(shù)．∴f(x)在區(qū)間［1，＋∞上的最小值為f(1)=．

(2)在區(qū)間［1，＋∞上，f(x)=＞0恒成立x²＋2x＋a＞0恒成立

設y=x²＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)²＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函數(shù)，

當x=1時，y_min=3＋a，于是當且僅當y_min=3＋a＞0時函數(shù)f(x)＞0恒成立．故a＞－3．