Question

如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2 DE＝2，M為AD中點(diǎn)．

(Ⅰ) 證明；

(Ⅱ) 若二面角A－BF－D的平面角的余弦值為，求AB的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ).由已知為正三角形，；(Ⅱ) AB＝．

【解析】

試題分析：(Ⅰ).由已知為正三角形，

(Ⅱ) 方法一：設(shè)AB＝x．取AF的中點(diǎn)G．由題意得DG⊥AF．

因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF，

所以AB⊥DG．所以DG⊥平面ABF．過(guò)G作GH⊥BF，垂足為H，

連結(jié)DH，則DH⊥BF，

所以∠DHG為二面角A－BF－D的平面角．在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG＝．

在直角△BAF中，由＝sin∠AFB＝，得＝，所以GH＝．

在直角△DGH中，DG＝，GH＝，得DH＝．

因?yàn)閏os∠DHG＝＝，得x＝，所以AB＝．

方法二：設(shè)AB＝x．以F為原點(diǎn)，AF，F(xiàn)Q所在的直線(xiàn)分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz．

則F(0，0，0)，A(－2， 0，0)，E(，0，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．

因?yàn)镋F⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)．

設(shè)＝(x₁，y₁，z₁)為平面BFD的法向量，則

所以，可取＝(，1，)．因?yàn)閏os<，>＝＝，

得x＝，所以AB＝．

方法三：以M為原點(diǎn)，MA， MF所在的直線(xiàn)分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz．略

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，距離的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟。本題利用向量簡(jiǎn)化了證明過(guò)程。把證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化成向量的坐標(biāo)運(yùn)算，這種方法帶有方向性。